حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3} = 0$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 - 4 y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.4.4

اضرب $3$ في $3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 9 y^{2} y'$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y'$

خطوة 3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $9 y^{2} y' - 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (9 y^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $9 y^{2}$ بالصيغة ${(3 y)}^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 y$ و $b = 2$ .

$y' ((3 y + 2) (3 y - 2)) = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ على $(3 y + 2) (3 y - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ على $(3 y + 2) (3 y - 2)$ .

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

خطوة 5.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

خطوة 5.6.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

خطوة 5.6.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$