حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

خطوة 1

اكتب $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{3}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{10} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.5

اجمع $\frac{15}{10}$ و $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 (4 x^{3})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.3

اجمع $4$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.4

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.5

اجمع $\frac{12}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.6.2.4

اقسِم $6 x^{3}$ على $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $3$ في $20$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 60 x^{2}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $6 x^{3}$ .

$6 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $60 x^{2}$ .

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10) = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10)$ .

$6 x^{2} (x + 10) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 10 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$x = - 10$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 x^{2} (x + 10) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 10$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $\frac{3}{10}$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $5$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 10$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 10$ في العبارة.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot {(- 10)}^{5} + 5 {(- 10)}^{4}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $- 10$ إلى القوة $5$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot - 100000 + 5 {(- 10)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $10$ من $- 100000$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 (- 10000)) + 5 {(- 10)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot - 10000) + 5 {(- 10)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 10) = 3 \cdot - 10000 + 5 {(- 10)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.3

اضرب $3$ في $- 10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 {(- 10)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.4

ارفع $- 10$ إلى القوة $4$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 \cdot 10000$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $5$ في $10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 50000$

خطوة 4.3.2.2

أضف $- 30000$ و $50000$ .

$f (- 10) = 20000$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $20000$ .

$20000$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 10$ في $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ هي $(- 10, 20000)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 10, 20000)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 10, 20000)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 10)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 10.1$ في العبارة.

$f'' (- 10.1) = 6 {(- 10.1)}^{3} + 60 {(- 10.1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 10.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 10.1) = 6 \cdot - 1030.301 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $6$ في $- 1030.301$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 10.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 \cdot 102.01$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $60$ في $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 6120.6$

خطوة 6.2.2

أضف $- 6181.806$ و $6120.6$ .

$f'' (- 10.1) = - 61.206$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 61.206$ .

$- 61.206$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 10.1$ يساوي $- 61.206$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 10)$

تناقص خلال $(- \infty, - 10)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 10, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f'' (- 5) = 6 {(- 5)}^{3} + 60 {(- 5)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 5) = 6 \cdot - 125 + 60 {(- 5)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $6$ في $- 125$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 {(- 5)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 \cdot 25$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $60$ في $25$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 1500$

خطوة 7.2.2

أضف $- 750$ و $1500$ .

$f'' (- 5) = 750$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $750$ .

$750$

خطوة 7.3

في $- 5$ ، المشتق الثاني هو $750$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 10, 0)$ .

تزايد خلال $(- 10, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $6$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 {(0.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 \cdot 0.01$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $60$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.6$

خطوة 8.2.2

أضف $0.006$ و $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.606$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.606$ .

$0.606$

خطوة 8.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.606$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 10, 20000)$ .

$(- 10, 20000)$

خطوة 10