حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + 6 x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 + 6 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.6.1.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{1 - 6 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $6$ من $1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.6.3

أضف $- 5$ و $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

خطوة 1.1.3.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

خطوة 1.1.3.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

خطوة 1.1.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.1.3.4.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 6 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $6$ في $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.6

أضف $2 x + 6$ و $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{2 x + 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $6$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 6}{2 \cdot - 1 + 1}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 + 6}{2 \cdot - 1 + 1}$

خطوة 4.1.2

أضف $- 2$ و $6$ .

$\frac{4}{2 \cdot - 1 + 1}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

خطوة 4.2.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

خطوة 4.3

اقسِم $4$ على $- 1$ .

$- 4$