حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

خطوة 1

افترض أن $x = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ بالصيغة $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\ln (e^{x} x^{3})$ بالصيغة $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

خطوة 2.3

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

خطوة 2.4

وسّع $\ln (x^{3})$ بنقل $3$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

خطوة 2.5

وسّع $\ln ({(x + 1)}^{4})$ بنقل $4$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

خطوة 2.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

خطوة 2.7

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (f (x))$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

خطوة 3.2.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

خطوة 3.2.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

خطوة 3.2.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

خطوة 3.2.5.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \ln (x + 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

خطوة 3.2.6.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

خطوة 3.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

خطوة 3.2.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اجمع $\frac{1}{x + 1}$ و $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.2.7.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.2.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.2.7.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

خطوة 3.2.7.5

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

خطوة 3.2.7.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.5.2.1

اضرب $\frac{4}{x + 1}$ في $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

خطوة 3.2.7.5.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

خطوة 3.2.7.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

خطوة 3.2.7.5.4

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

خطوة 3.2.8

لكتابة $\frac{3}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

خطوة 3.2.9

لكتابة $\frac{x + 5}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

خطوة 3.2.10

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (x + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

اضرب $\frac{3}{x}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

خطوة 3.2.10.2

اضرب $\frac{x + 5}{x + 1}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

خطوة 3.2.10.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

خطوة 3.2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

خطوة 3.2.12

اضرب $\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ في $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

خطوة 3.2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.13.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.13.4.1.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.4.2

أضف $3 x$ و $5 x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.13.5.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

خطوة 3.2.13.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

خطوة 3.2.13.7

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.13.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

خطوة 3.2.13.7.2

أخرِج العامل $x$ من $3 \ln (x) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

خطوة 3.2.13.7.3

أخرِج العامل $x$ من $4 \ln (x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

خطوة 3.2.13.7.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (3 \ln (x))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

خطوة 3.2.13.7.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

خطوة 3.2.13.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

خطوة 4

اعزِل $x'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $x$ في الطرف الأيمن.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

بسّط $3 \ln (x)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

خطوة 5.1.1.2

بسّط $4 \ln (x + 1)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

خطوة 5.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ و $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ .

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ .

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$