حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ بالصيغة $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

خطوة 3.3

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

خطوة 3.4

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

خطوة 3.5

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $\ln (8)$ وفي $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

$\ln (8)$ تساوي تقريبًا $2.07944154$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

خطوة 7.2

$\ln (4)$ تساوي تقريبًا $1.38629436$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $\ln (8)$ بالصيغة $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

خطوة 7.4

وسّع $\ln (2^{3})$ بنقل $3$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

خطوة 7.5

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

خطوة 7.6

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

خطوة 7.7

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

خطوة 7.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.20273255 \dots$