حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 1

بما أن $70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(3 x^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب الأُسس في ${({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 3.3

اضرب ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ في $1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 3 x^{2} + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 (3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $3 x^{2} + 8$ من ${(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3 x^{2} + 8$ من ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $3 x^{2} + 8$ من $- 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $3 x^{2} + 8$ من $(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

خطوة 6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $3 x^{2} + 8$ من ${(3 x^{2} + 8)}^{4}$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 6.3

أعِد كتابة العبارة.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 10

اضرب $2$ في $3$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 11

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $6 x$ و $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 12.2

اضرب $6$ في $- 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 16

أضف $1$ و $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{2}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 17

اطرح $12 x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$70 \frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 18

اجمع $70$ و $\frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

اضرب $- 9$ في $70$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.2.2

اضرب $70$ في $8$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.3

أخرِج العامل $70$ من $- 630 x^{2} + 560$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

أخرِج العامل $70$ من $- 630 x^{2}$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.3.2

أخرِج العامل $70$ من $560$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.3.3

أخرِج العامل $70$ من $70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 x^{2}$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2}) + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.5

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $- 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (9 x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.7

أعِد كتابة $- (9 x^{2} - 8)$ بالصيغة $- 1 (9 x^{2} - 8)$ .

$\frac{70 (- 1 (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

خطوة 19.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{70 (9 x^{2} - 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$