حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (r)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (r)$ .

$F (r) = \int f (r) d r$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (r) = \int \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{3}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

خطوة 5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{1^{2} + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{1^{2} + r^{2}}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\arctan (r) + C$ .

$3 (\arctan (r) + C) + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (\arctan (r) + C) - \int \sqrt[5]{r^{4}} d r$

خطوة 8

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{r^{4}}$ في صورة $r^{\frac{4}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - \int r^{\frac{4}{5}} d r$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $r^{\frac{4}{5}}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - (\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

$3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$ .

$F (r) =$ $3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$