حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

خطوة 1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 2$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 8.3

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 12.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 12.3

اجمع $4$ و $\frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 ((x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.3

اجمع $2$ و $\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.4

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.5

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.5.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.5.2

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + 1} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.5.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.5.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.7

أعِد كتابة $- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.8

اضرب $4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.8.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.8.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.10

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.3.2

اطرح $4 x^{\frac{1}{2}}$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.1.2

أخرِج العامل $- 2$ من $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.1.3

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.3

اضرب $- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.3.2

اضرب $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.4

لكتابة $x^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.6.1

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.6.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.6.1.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{2}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.6.1.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{- 2 \frac{x^{1} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.4.6.2

بسّط $x^{1}$ .

$\frac{- 2 \frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.5

اجمع $- 2$ و $\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 13.8

اضرب $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ في $\frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.9

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{2}}$