حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . إذن $d u = (9 x^{2} + 12 x + 3) d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = (3 x^{2} + 4 x + 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $6$ .

$9 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.5.3

اضرب $3$ في $1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + 0$

خطوة 1.1.6.2

أضف $9 x^{2} + 12 x + 3$ و $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 |) + C$