حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}}$ بالصيغة $\frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}}$ .

$\int \frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

خطوة 2

بما أن $2 \cdot 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 \cdot 4$ خارج التكامل.

$2 \cdot 4 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

خطوة 3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = 3 + x^{4}$ . إذن $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = 3 + x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $3 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{4}]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

خطوة 4.1.5

أضف $0$ و $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

خطوة 5.2

انقُل $4$ إلى يسار $u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $8$ .

$\frac{8}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = \ln (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ ، لذا $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = \ln (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 10.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 10.2.3

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (u_{1})$ .

$\ln^{2} (u_{1}) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 + x^{4}$ .

$\ln^{2} (3 + x^{4}) + C$