حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 7 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.1.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 7 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int 7 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.2

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{7 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{7 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{7 \cdot 1 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.4.2

اضرب $7$ في $1$ .

$\int \frac{7 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.4.3

اطرح $3$ من $7$ .

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

أعِد ترتيب $1$ و $x^{2}$ .

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

اقسِم $7 x^{2} + 4$ على $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $7 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$7$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					+	$7 x^{2}$	+	$0$	+	$7$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $7 x^{2} + 0 + 7$

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$
									-	$3$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 7 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 7 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$7 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$7 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$7 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 10.2

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 10.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C$ .

$7 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$7 x - 3 \arctan (x) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $7 x - 3 \arctan (x) + C$