حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

خطوة 1

اكتب $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ في صورة دالة.

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

خطوة 4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

خطوة 6.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

خطوة 6.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

خطوة 6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

خطوة 6.7

أضف $2$ و $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

خطوة 6.8

أخرِج السالب.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

خطوة 6.9

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

خطوة 6.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

خطوة 6.11

أضف $1$ و $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

خطوة 6.12

أعِد ترتيب $x^{\frac{3}{2}}$ و $- x^{3}$ .

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

خطوة 11.2

بسّط.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ .

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$