حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 4 x e^{2 x} d x$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x e^{2 x} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 5.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

خطوة 7

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

خطوة 8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

خطوة 12

أعِد كتابة $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ بالصيغة $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 14.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 14.1.3

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 14.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 14.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 14.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 14.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{2 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 14.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 14.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 4 x e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$