حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 1 - \sin (4 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 1 - \sin (4 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - \sin (4 x) d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - \sin (4 x) d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \sin (4 x) d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - \int \sin (u) \frac{1}{4} d u$

خطوة 7

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{4}$ .

$x + C - \int \frac{\sin (u)}{4} d u$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$x + C - (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

خطوة 9

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$x + C - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$x + \frac{\cos (u)}{4} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$x + \frac{\cos (4 x)}{4} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 1 - \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$