حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $x$ من $6 x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

خطوة 2

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot 6 + x (- x)$

خطوة 2.1.2

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

خطوة 2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$6 \cdot x - x \cdot x$

خطوة 2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

انقُل $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

خطوة 2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$6 x - x^{2}$

خطوة 2.1.5

أعِد ترتيب $6 x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

خطوة 2.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

خطوة 2.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.4.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$d = - 3$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

خطوة 2.5.2.1.3

اقسِم $36$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

خطوة 2.5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$e = 0 + 9$

خطوة 2.5.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$e = 9$

خطوة 2.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x - 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 3.1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

خطوة 3.3

اطرح $3$ من $3$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

خطوة 3.5

اطرح $3$ من $6$ .

$u_{upper} = 3$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $- u^{2}$ و $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{u}{3})$ في $3$ وفي $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

خطوة 6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

خطوة 6.2.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

خطوة 7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

خطوة 7.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

خطوة 7.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.57079632 \dots$

خطوة 9