حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 5.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 6.3

انقُل ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 10

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 12

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1)$

خطوة 14

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$ .

$(6 x^{2} + 2 x - 6) \frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 15.2

اضرب $6 x^{2} + 2 x - 6$ في $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(6 x^{2} + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} + 2 x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 15.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 (x) - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 15.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 15.3.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{(2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 15.3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 15.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 (3 x^{2} + x - 3)}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$