حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.2.2

اطرح $e^{x}$ من $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- 2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $h (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$e^{x} (x - 2) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.3.2.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.3.2.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 2$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{e^{x}}{x - 1}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{e^{2}}{1}$

خطوة 4.1.2.2

اقسِم $e^{2}$ على $1$ .

$e^{2}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{e^{1}}{0}$

خطوة 4.2.2.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(2, e^{2})$

خطوة 5