حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

خطوة 1.1.2

بما أن $60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $60$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع $\frac{π}{10}$ و $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

خطوة 1.2.2

بما أن $- 55$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$0 - 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

خطوة 1.2.3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$0 - 55 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

خطوة 1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

خطوة 1.2.5

بما أن $\frac{π}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{π t}{10}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

خطوة 1.2.7

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $\frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + 0))$

خطوة 1.2.8

اضرب $\frac{π}{10}$ في $1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} + 0))$

خطوة 1.2.9

أضف $\frac{π}{10}$ و $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{π}{10})$

خطوة 1.2.10

اجمع $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ و $\frac{π}{10}$ .

$0 - 55 \frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$

خطوة 1.2.11

اجمع $- 55$ و $\frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$ .

$0 + \frac{- 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

خطوة 1.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 55$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

أخرِج العامل $5$ من $- 55 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

خطوة 1.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 (2)}$

خطوة 1.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 \cdot 2}$

خطوة 1.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

خطوة 1.2.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 - \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اطرح $\frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ من $0$ .

$- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- \frac{11 π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{11 π}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot \frac{d}{d t} \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$h'' (t) = 1 (\frac{11 π}{2}) \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{11 π}{2}$ في $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 π}{2} \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ و $\frac{11 π}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (11 π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

خطوة 2.3.2.3

انقُل $11$ إلى يسار $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ .

$h'' (t) = \frac{11 \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{d}{d t} (\frac{π t}{10}) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{π}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{π t}{10}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.6

اضرب $\frac{π}{10}$ في $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $\frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + 0)$

خطوة 2.3.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أضف $\frac{π}{10}$ و $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot \frac{π}{10}$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $\frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ في $\frac{π}{10}$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π π}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{1 + 1}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.8

اضرب $2$ في $10$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{20}$

خطوة 2.9

أعِد ترتيب العوامل في $11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}$ .

$h'' (t) = \frac{11 π^{2} \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ على $11 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ على $11 π$ .

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

خطوة 5.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

خطوة 5.1.2.2.2

اقسِم $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ على $1$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{11 π}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

أخرِج العامل $11$ من $0$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 π}$

خطوة 5.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $11$ من $11 π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 (π)}$

خطوة 5.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 \cdot 0}{11 π}$

خطوة 5.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{π}$

خطوة 5.1.3.2

اقسِم $0$ على $π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

خطوة 5.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل جيب التمام.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $t$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اطرح $\frac{π}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{π t}{10} = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π t}{10} = \frac{π - π}{2}$

خطوة 5.4.3

اطرح $π$ من $π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.4.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{π t}{10} = 0$

خطوة 5.5

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$π t = 0$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $π t = 0$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $π t = 0$ على $π$ .

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{0}{π}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اقسِم $0$ على $π$ .

$t = 0$

خطوة 5.7

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.8.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.8.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.8.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.8.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $t$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

اطرح $\frac{π}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.8.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π - π}{2}$

خطوة 5.8.2.3

اطرح $π$ من $3 π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

خطوة 5.8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

خطوة 5.8.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$\frac{π t}{10} = π$

خطوة 5.8.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{10}{π}$ .

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

خطوة 5.8.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1

بسّط $\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

خطوة 5.8.4.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

خطوة 5.8.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{10}{π} π$

خطوة 5.8.4.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

خطوة 5.8.4.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{10}{π} π$

خطوة 5.8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$t = \frac{10}{π} π$

خطوة 5.8.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$t = 10$

خطوة 5.9

حل المعادلة $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$t = 0, 10$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (0)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $10$ من $π (0)$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 (1)} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 \cdot 1} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (0)}{1} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7.1.2.4

اقسِم $π \cdot (0)$ على $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot (0) + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (0 + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $\frac{π}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{20}$

خطوة 7.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot 1}{20}$

خطوة 7.2.4

اضرب $11$ في $1$ .

$\frac{11 π^{2}}{20}$

خطوة 8

$t = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $0$ في العبارة.

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (0) + \frac{π}{2})$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $\frac{π}{10}$ في $0$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (0 + \frac{π}{2})$

خطوة 9.2.1.2

أضف $0$ و $\frac{π}{2}$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 9.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$h (0) = 60 - 55 \cdot 1$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $- 55$ في $1$ .

$h (0) = 60 - 55$

خطوة 9.2.2

اطرح $55$ من $60$ .

$h (0) = 5$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$y = 5$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 10$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (10)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 11.1.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 11.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 11.2.2

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

خطوة 11.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})}{20}$

خطوة 11.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})}{20}$

خطوة 11.2.4.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{20}$

خطوة 11.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$\frac{11 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{20}$

خطوة 11.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{11 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{20}$

خطوة 11.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot - 1}{20}$

خطوة 11.2.8

اضرب $- 1$ في $11$ .

$\frac{- 11 π^{2}}{20}$

خطوة 11.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{11 π^{2}}{20}$

خطوة 12

$t = 10$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = 10$ هي حد أقصى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $10$ في العبارة.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (10) + \frac{π}{2})$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot 10 + \frac{π}{2})$

خطوة 13.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$h (10) = 60 - 55 \sin (π + \frac{π}{2})$

خطوة 13.2.1.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 13.2.1.3

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 13.2.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

خطوة 13.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

خطوة 13.2.1.5.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.2.1.6

$h (10) = 60 - 55 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$h (10) = 60 - 55 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 13.2.1.8

اضرب $- 55 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$h (10) = 60 - 55 \cdot - 1$

خطوة 13.2.1.8.2

اضرب $- 55$ في $- 1$ .

$h (10) = 60 + 55$

خطوة 13.2.2

أضف $60$ و $55$ .

$h (10) = 115$

خطوة 13.2.3

الإجابة النهائية هي $115$ .

$y = 115$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ .

$(0, 5)$ هي نقاط دنيا محلية

$(10, 115)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 15