حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$1 \frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}}$ في $1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x^{3}}$ و $g (x) = x^{4} - 7 x + 1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 7 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.4

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.6

اضرب $- 7$ في $1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 + 0)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

أضف $4 x^{3} - 7$ و $0$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 6.8.2

اضرب $\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}}$ في $\frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{e^{x^{3}} {(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

خطوة 7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $x^{4} - 7 x + 1$ من $e^{x^{3}} {(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1))}$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1))}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{4} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} + 1 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x^{4} e^{x^{3}} x^{2} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.2

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{4}) e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2 + 4} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.2.3

أضف $2$ و $4$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 (x^{2} x) e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.3.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x^{2 + 1} e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x^{3} e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.4

اضرب $3$ في $- 7$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 1 \cdot 3 e^{x^{3}} x^{2} - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.6

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 1 \cdot 4 e^{x^{3}} x^{3} - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.8

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x^{3} - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.1.9

اضرب $- 7$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x^{3} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.2

اطرح $4 e^{x^{3}} x^{3}$ من $- 21 x^{3} e^{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

انقُل $e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} - 4 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.2.2

اطرح $4 x^{3} e^{x^{3}}$ من $- 21 x^{3} e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

خطوة 8.6

اضرب $e^{x^{3}}$ في $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}}}$

خطوة 8.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 e^{x^{3}} x^{6} - 25 e^{x^{3}} x^{3} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} - 7 e^{x^{3}} x + e^{x^{3}}}$