حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

خطوة 1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = \frac{x}{3}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ ، لذا $3 d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = \frac{x}{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

خطوة 2.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

خطوة 3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . إذن $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 {u_{1}}^{2} + 7$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $9 {u_{1}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $2$ في $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$18 u_{1} + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $18 u_{1}$ و $0$ .

$18 u_{1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{18}$ و $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{3}{18}$ و $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

خطوة 5.3

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

خطوة 5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 9

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

خطوة 9.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$