حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x^{2} - 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

خطوة 1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x)$

خطوة 1.2.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 1} x$

خطوة 1.2.4.3

اجمع $\frac{2}{x^{2} - 1}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.2

اضرب $x^{2} - 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

خطوة 2.9

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0$

خطوة 4

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 5

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6