حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x - e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - e$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2.4

بما أن $- e$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- e$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 2.6

اضرب $e^{x - e}$ في $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- \frac{1}{e}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{e}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

لكتابة $e^{x - e}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

خطوة 5.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

خطوة 5.1.3

لكتابة $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

خطوة 5.1.4

لكتابة $- \frac{1}{e}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 5.1.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x e$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.1

اضرب $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ في $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 5.1.5.2

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

خطوة 5.1.5.3

أعِد ترتيب عوامل $x e$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

خطوة 5.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$