حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 3.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 3.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 3.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.1.8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 5

اضرب $2$ في $8$ .

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

أخرِج عامل $\sin^{2} (u_{1})$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = \cos (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = \cos (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

خطوة 12.2

بسّط.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (u_{1})$ .

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

خطوة 14.3

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

خطوة 14.4

اجمع $16$ و $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$