حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لكتابة $x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

خطوة 1.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

خطوة 1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 2.1.2

اضرب $x + 2 x^{2}$ في $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 2.2

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.1.3

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.2.5.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

خطوة 3.1.3.1.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.3

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 3.1.3.3.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

خطوة 3.1.3.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$4 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$4 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$4 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3.4.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

خطوة 3.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} \cdot 4 - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 3.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 3.3.7.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 3.3.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 3.3.7.4

اضرب $2$ في $4$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 3.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

خطوة 3.3.9

أضف $8 x$ و $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $\frac{1}{8}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

خطوة 4.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

خطوة 4.4

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

خطوة 5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

خطوة 6.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

خطوة 6.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

خطوة 6.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

خطوة 6.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

خطوة 6.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

خطوة 6.5

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

خطوة 6.6

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

خطوة 6.7

أضف $- 2$ و $1$ .

$- 1 \cdot - 1$

خطوة 6.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1$