حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . إذن $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ ، لذا $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة ${(2 r - 1)}^{2}$ بالصيغة $(2 r - 1) (2 r - 1)$ .

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

خطوة 1.1.3

وسّع $(2 r - 1) (2 r - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

خطوة 1.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

خطوة 1.1.4.1.2

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.1

انقُل $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

خطوة 1.1.4.1.2.2

اضرب $r$ في $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

خطوة 1.1.4.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

خطوة 1.1.4.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

خطوة 1.1.4.1.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

خطوة 1.1.4.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

خطوة 1.1.4.2

اطرح $2 r$ من $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

خطوة 1.1.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 r^{2} - 4 r + 1$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $4 r^{2}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- 4 r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.8

اضرب $2$ في $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.9

اضرب $- 4$ في $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.6.10

أضف $8 r - 4$ و $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

خطوة 1.1.7

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

خطوة 1.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

خطوة 1.1.8.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.2.1

اضرب $8$ في $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

خطوة 1.1.8.2.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

خطوة 1.1.8.2.3

أضف $24 r - 12$ و $0$ .

$24 r - 12$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ في $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

خطوة 2.2

انقُل $12$ إلى يسار $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 4.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

خطوة 4.3

انقُل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

خطوة 4.4

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

خطوة 4.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

خطوة 4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 5.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 5.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 5.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 5.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 5.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 5.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.1.8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$