حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

خطوة 2

مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x'$ .

$x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{4}}{4}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{4}{4}$ و $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.5.2

اقسِم $y^{3}$ على $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{1}{8 y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{2}}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

خطوة 3.3.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

خطوة 3.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

خطوة 3.3.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

خطوة 3.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

خطوة 3.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

خطوة 3.3.10

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

خطوة 3.3.11

اجمع $\frac{- 2}{8}$ و $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

خطوة 3.3.12

انقُل $y^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

خطوة 3.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

خطوة 3.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y^{3}$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

خطوة 3.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

خطوة 3.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

خطوة 3.3.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

خطوة 5

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$