حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- y = y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (y^{3} - y^{2} + 3 x^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$3 y^{2} y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$3 y^{2} y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 (3 x^{2})$

خطوة 3.4.3

اضرب $3$ في $3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 9 x^{2}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- y' = 9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' = - y'$

خطوة 5.2

أضف $y'$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 0$

خطوة 5.3

اطرح $9 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.3

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

خطوة 5.4.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ على $3 y^{2} - 2 y + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ على $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$