حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} (e^{x} - 1)$

خطوة 1

اكتب $e^{x} (e^{x} - 1)$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{x} (e^{x} - 1)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{x} (e^{x} - 1) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = e^{x} - 1$ . إذن $d u = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = e^{x} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x} + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$e^{x}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{2} + C$

خطوة 7

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{x} (e^{x} - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{2} + C$