حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ موجبة.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $\sec (t)$ و $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.2.2

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{2} (t)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{2} (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 5.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

خطوة 5.2.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 7

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 8

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (t)$ و $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

خطوة 9

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

خطوة 10

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

خطوة 13

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

خطوة 14

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 14.3

أعِد ترتيب $\sec (t)$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 15

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

خطوة 16

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

خطوة 18

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 19

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

خطوة 20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

خطوة 21

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 22

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 23

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 24

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 25

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 25.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 26

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (t) d t$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

خطوة 27

اضرب $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

خطوة 28

بسّط.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

خطوة 29

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

خطوة 29.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

خطوة 30

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, 2 x)$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (2 x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, 2 x)$ . إذن، $\sec (\arctan (2 x))$ تساوي $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.4

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.6.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

خطوة 31.1.6.4

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

خطوة 31.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

خطوة 31.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

خطوة 31.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

خطوة 31.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

خطوة 31.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

خطوة 31.4

اجمع $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

خطوة 31.5

اجمع $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ و $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

خطوة 31.6

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

خطوة 31.7

لكتابة $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

خطوة 31.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.8.1

اضرب $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

خطوة 31.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

خطوة 31.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

خطوة 31.10

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

خطوة 32

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

خطوة 33

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$