حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

خطوة 1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{3} - 1$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{3} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $9$ .

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 1$ .

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$