حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (2 x)$ و $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 x^{2} + 1$ . إذن $d u = 8 x d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 x + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$8 x$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

خطوة 5.3.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 5.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

خطوة 5.5.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

خطوة 5.5.2

أضف $4$ و $1$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

خطوة 6.2

انقُل $8$ إلى يسار $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\arctan (2 x) x$ في $1$ وفي $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

خطوة 10.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $5$ وفي $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.2.2

اضرب $\arctan (2)$ في $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.3.2

اضرب $0$ في $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.4

أضف $\arctan (2)$ و $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

خطوة 10.3.2

اجمع $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

خطوة 10.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $5$ تساوي $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

خطوة 10.4.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

خطوة 10.4.3

اقسِم $5$ على $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.70478923 \dots$