حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(2 x^{3} + 2)}^{4}$ و $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

خطوة 3.3

انقُل $3$ إلى يسار ${(2 x^{3} + 2)}^{4}$ .

$3 \cdot {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

خطوة 3.4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 2 x^{3} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x^{3} + 2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x^{3} + 2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

خطوة 3.7.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

خطوة 3.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2]))$

خطوة 3.7.4

اضرب $3$ في $2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]))$

خطوة 3.7.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + 0))$

خطوة 3.7.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.1

أضف $6 x^{2}$ و $0$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2}))$

خطوة 3.7.6.2

اضرب $6$ في $4$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (24 {(2 x^{3} + 2)}^{3} x^{2})$

خطوة 3.7.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$