حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $G (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

خطوة 3

انقُل $x^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

خطوة 4

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

خطوة 5

وسّع $(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 5.4

اطرح $4$ من $2$ .

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 5.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 5.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 5.7

اطرح $4$ من $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 10.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

خطوة 11

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

خطوة 13.1.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

خطوة 13.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

خطوة 13.3.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ .

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$