حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

خطوة 1.1.2.2

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $- y$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

خطوة 1.1.2.3

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

خطوة 1.2

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 1.3

اضرب $y^{2}$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 1.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 1.3.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 1.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

خطوة 1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

خطوة 1.3.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

خطوة 2

انقُل $y^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

خطوة 3.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

خطوة 4.2

اضرب $y^{- \frac{3}{2}}$ في $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

خطوة 4.3

أخرِج السالب.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

خطوة 4.6

اطرح $3$ من $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

خطوة 4.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

خطوة 4.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

خطوة 4.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

خطوة 4.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

خطوة 4.7.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

خطوة 4.8

أعِد ترتيب $y^{- \frac{3}{2}}$ و $- y^{- 1}$ .

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

خطوة 7

تكامل $y^{- 1}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

احسِب قيمة $\ln (| y |)$ في $4$ وفي $1$ .

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

خطوة 9.1.2

احسِب قيمة $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ في $4$ وفي $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.7.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.1.3.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

خطوة 9.1.3.9

اضرب $2$ في $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

خطوة 9.1.3.10

أضف $- 1$ و $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

خطوة 9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

خطوة 9.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

خطوة 9.3.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$- \ln (4) + 1$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \ln (4) + 1$

الصيغة العشرية:

$- 0.38629436 \dots$

خطوة 11