حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{2} + 1$ على $x^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - x + 0$

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

خطوة 4

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

خطوة 4.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

خطوة 4.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

خطوة 4.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 4.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x - 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.5.2

اقسِم $x + 1$ على $1$ .

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.6.1.2

اقسِم $A (x - 1)$ على $1$ .

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.6.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.6.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 4.1.6.5.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

خطوة 4.1.7

انقُل $- A$ .

$x + 1 = A x + B x - A$

خطوة 4.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B$

خطوة 4.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 1 A$

خطوة 4.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

خطوة 4.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = - 1 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

خطوة 4.3.1.2

اقسِم كل حد في $- 1 A = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 1 A = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

خطوة 4.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

خطوة 4.3.1.2.2.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

خطوة 4.3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

خطوة 4.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = A + B$ بـ $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

خطوة 4.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

خطوة 4.3.3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

خطوة 4.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 2 A = - 1$

خطوة 4.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = 2, A = - 1$

خطوة 4.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

خطوة 4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 9.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 9.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 11

بسّط.

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$