حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y - 4 y^{2} = x - 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x y' + y - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x y' + y - 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x y' + y - 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x y' + y - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y - 4 (2 y y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 4$ .

$x y' + y - 8 y y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x y' - 8 y y' + y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.4

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' - 8 y y' + y = 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' - 8 y y' = 1 - y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x y' - 8 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x - 8 y y' = 1 - y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 8 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 8 y) = 1 - y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (- 8 y)$ .

$y' (x - 8 y) = 1 - y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (x - 8 y) = 1 - y$ على $x - 8 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x - 8 y) = 1 - y$ على $x - 8 y$ .

$\frac{y' (x - 8 y)}{x - 8 y} = \frac{1}{x - 8 y} + \frac{- y}{x - 8 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - 8 y)}{x - 8 y} = \frac{1}{x - 8 y} + \frac{- y}{x - 8 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{x - 8 y} + \frac{- y}{x - 8 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - y}{x - 8 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x - 8 y}$