حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x}{x + y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اضرب $x + y$ في $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + y - x - x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة $- (x y' - y)$ بالصيغة $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

خطوة 5.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

خطوة 5.2.1.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

خطوة 5.2.1.4

انقُل $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $- 1 y'$ بالصيغة $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

خطوة 5.3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أضف $y' x$ إلى كلا المتعادلين.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

خطوة 5.3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أعِد كتابة ${(x + y)}^{2}$ بالصيغة $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.2

وسّع $(x + y) (x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.3.2

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.3.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.3.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.2.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.3.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

خطوة 5.3.3.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ على $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ على $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

خطوة 5.3.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$