حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{a} 9 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = a^{2} - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = a^{2} - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 2.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = a^{2} - 0$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $a^{2}$ و $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

خطوة 2.5

اطرح $a^{2}$ من $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$9 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$9 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 9 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

خطوة 7.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $0$ وفي $a^{2}$ .

$- \frac{9}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 9.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 9.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 9.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 9.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 9.2.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $0$ .

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 9.2.6

اضرب الأُسس في ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 9.2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 9.2.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

خطوة 9.2.7

اطرح $\frac{2}{3} a^{3}$ من $0$ .

$- \frac{9}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

خطوة 9.2.8

اجمع $a^{3}$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{9}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

خطوة 9.2.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{9}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

خطوة 9.2.10

اضرب $\frac{9}{2}$ في $1$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

خطوة 9.2.11

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{9 (a^{3} \cdot 2)}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.2.12

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{18 a^{3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.2.13

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{18 a^{3}}{6}$

خطوة 9.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.14.1

أخرِج العامل $6$ من $18 a^{3}$ .

$\frac{6 (3 a^{3})}{6}$

خطوة 9.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.14.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 (3 a^{3})}{6 (1)}$

خطوة 9.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (3 a^{3})}{6 \cdot 1}$

خطوة 9.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 a^{3}}{1}$

خطوة 9.2.14.2.4

اقسِم $3 a^{3}$ على $1$ .

$3 a^{3}$