حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.6.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 - 4 \cdot 0^{3} + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.7.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.7.1.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.7.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.7.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.7.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{3} + 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.4.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{3} + 0^{2} + 0}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 0^{2} + 0}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

خطوة 1.1.3.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.5.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2.4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2.5

انقُل الحد $12$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2.6

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2.7

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2.8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 2.9

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 2.10

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 2.11

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 2.12

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4 \cdot 0 - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0 - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 - 12 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 12$ في $0$ .

$\frac{0 + 0 + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.1.5

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.1.6

أضف $0 + 0$ و $0$ .

$\frac{0 + 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.1.7

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.2.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

خطوة 4.2.4

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

خطوة 4.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{0}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $0$ على $1$ .

$0$