حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{{(2 x^{3} + 3 x)}^{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2} d x$

خطوة 3

وسّع ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2}$ بالصيغة $(2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\int (2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x) x^{- 2} d x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3} + 3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

خطوة 3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x)) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

خطوة 3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

خطوة 3.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

خطوة 3.8

انقُل $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

خطوة 3.9

انقُل $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

خطوة 3.10

انقُل $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

خطوة 3.11

انقُل $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.12

اضرب $2$ في $2$ .

$\int 4 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{3 + 3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.14

أضف $3$ و $3$ .

$\int 4 x^{6} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{6 - 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.16

اطرح $2$ من $6$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.17

اضرب $2$ في $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.18

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 (x^{3} x^{1}) x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.19

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3 + 1} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.20

أضف $3$ و $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.21

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.22

اطرح $2$ من $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.23

اضرب $3$ في $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.24

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 (x^{1} x^{3}) x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.25

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{1 + 3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.26

أضف $1$ و $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.27

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.28

اطرح $2$ من $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.29

اضرب $3$ في $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 3.30

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x) x^{- 2} d x$

خطوة 3.31

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

خطوة 3.32

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

خطوة 3.33

أضف $1$ و $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2} x^{- 2} d x$

خطوة 3.34

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2 - 2} d x$

خطوة 3.35

اطرح $2$ من $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{0} d x$

خطوة 3.36

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 \cdot 1 d x$

خطوة 3.37

اضرب $9$ في $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 d x$

خطوة 3.38

أضف $6 x^{2}$ و $6 x^{2}$ .

$\int 4 x^{4} + 12 x^{2} + 9 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

خطوة 7

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int 9 d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 9 d x$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

خطوة 10.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 9 x + C$

خطوة 10.2

بسّط.

$\frac{4 x^{5}}{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4}{5} x^{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$