حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \frac{\cos (2 x)}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cos (2 x)$ و $g (x) = x$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ و $3$ .

$\frac{(x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)) \cdot 3}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

خطوة 4.6.3

انقُل $3$ إلى يسار $x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

خطوة 5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6 (x (\sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

خطوة 5.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

خطوة 5.3.3

اضرب $\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}}$ في $\frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2} x^{2}}$

خطوة 5.3.4

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2 + 2}}$

خطوة 5.3.4.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x \sin (2 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 \cos (2 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x)))}{x^{4}}$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x))$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x)))}{x^{4}}$

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

خطوة 5.6

انقُل $3$ إلى يسار $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x) (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x \sin (2 x)$ .

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

خطوة 5.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- \cos (2 x)$ .

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{4}}$

خطوة 5.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ .

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

خطوة 5.10

أعِد كتابة $- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ بالصيغة $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ .

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

خطوة 5.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$

خطوة 5.12

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 \cos^{2} (2 x) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$