حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sin (2 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

خطوة 5.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

خطوة 5.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

خطوة 9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اجمع $2$ و $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 (π)}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.3

اجمع $\frac{π}{4}$ و $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.4

أعِد كتابة $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ في صورة حاصل ضرب.

$- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.5

اضرب $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.6

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.7

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.8

اضرب $0$ في $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.10

أضف $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8}$ و $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 10.3.11

لكتابة $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 10.3.12

اجمع $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ و $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

خطوة 10.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

خطوة 10.3.14

اجمع $8$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{8}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

خطوة 10.3.15

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.15.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

خطوة 10.3.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.15.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

خطوة 10.3.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

خطوة 10.3.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{2}{1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

خطوة 10.3.15.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

خطوة 11.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{8}$

خطوة 11.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{8}$

خطوة 11.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{0 π + 2 (1 - 0)}{8}$

خطوة 11.5

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 0)}{8}$

خطوة 11.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0 + 2 (1 + 0)}{8}$

خطوة 11.7

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{8}$

خطوة 11.8

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{0 + 2}{8}$

خطوة 11.9

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{2}{8}$

خطوة 11.10

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.10.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{8}$

خطوة 11.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

خطوة 11.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

خطوة 11.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.25$