حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . إذن $d u_{2} = - \tan (x) d x$ ، لذا $- d u_{2} = \tan (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أعِد ترتيب عوامل $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

خطوة 1.1.5.3

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.5.4

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (\cos (x))$ .

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$