حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $1$ و $- x$ .

$\int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

خطوة 2

اقسِم $x^{2}$ على $- x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - x$

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

خطوة 2.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

خطوة 2.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

خطوة 2.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

خطوة 2.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

خطوة 2.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

خطوة 2.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - x + 1$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 8.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$