حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (3 \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

خطوة 3.2

اجمع $\cos^{2} (2 x)$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 3.3

انقُل $3$ إلى يسار $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 3.4.2

اقسِم $\cos^{2} (2 x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 5.4.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \cos^{2} (2 x) \sin (2 x)$