حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} + 4 y = 8 x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 4 y) = \frac{d}{d x} (8 x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x^{3} + 4 y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$8 (x y' + y)$

خطوة 3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$8 x y' + 8 y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x^{3} + 4 y' = 8 x y' + 8 y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $8 x y'$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} + 4 y' - 8 x y' = 8 y$

خطوة 5.2

اطرح $4 x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$4 y' - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' - 8 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y'$ .

$4 y' \cdot 1 - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $- 8 x y'$ .

$4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x)$ .

$4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ على $4 (1 - 2 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ على $4 (1 - 2 x)$ .

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8 y$ .

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- x^{3}}{1 - 2 x}$

خطوة 5.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} - \frac{x^{3}}{1 - 2 x}$

خطوة 5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$