حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

خطوة 3.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

خطوة 3.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 4

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

خطوة 6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احسِب قيمة $- \frac{u_{2}}{2}$ في $e^{- t^{2}}$ وفي $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

خطوة 6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ في صورة حاصل ضرب.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

خطوة 7.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

خطوة 7.1.3

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

خطوة 7.2

بما أن الأُس $- t^{2}$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- t^{2}}$ تقترب من $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

خطوة 7.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احسِب قيمة حد $\frac{1}{2 e}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

خطوة 7.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

خطوة 7.3.2.1.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

خطوة 7.3.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

خطوة 7.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

خطوة 7.3.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

خطوة 7.3.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

خطوة 7.3.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{1}{e}$

خطوة 7.3.2.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.73575888 \dots$