حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 x^{4} + 3}{4 x^{5} + 15 x + 2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . إذن $d u = (20 x^{4} + 15) d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = (4 x^{4} + 3) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5} + 15 x + 2]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{5} + 15 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $5$ في $4$ .

$20 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$20 x^{4} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $15$ في $1$ .

$20 x^{4} + 15 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$20 x^{4} + 15 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $20 x^{4} + 15$ و $0$ .

$20 x^{4} + 15$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

خطوة 2.2

انقُل $5$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 x^{5} + 15 x + 2 |) + C$