حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ بنقل $\frac{1}{x}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}]$

خطوة 2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\ln (e^{x} + x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (e^{x} + x)$ و $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{x} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $e^{x} + x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x} + x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{e^{x} + x}$ و $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$

خطوة 8.3.2

اجمع $e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ و $\frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $\frac{x}{e^{x} + x}$ في $e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

خطوة 9.1.2

لكتابة $- \ln (e^{x} + x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x) \cdot \frac{e^{x} + x}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

خطوة 9.1.3

اجمع $- \ln (e^{x} + x)$ و $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} + \frac{- \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

خطوة 9.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

خطوة 9.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x \cdot 1 - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

خطوة 9.1.5.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

خطوة 9.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

خطوة 9.1.6

اجمع $e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ و $\frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

خطوة 9.1.7

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

خطوة 9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 9.2.2

اضرب $\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{(e^{x} + x) x^{2}}$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{x^{2} (e^{x} + x)}$