حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$

خطوة 1

اكتب $\frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6} d x$

خطوة 4

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

حلّل $x^{2} + 5 x + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $6$ ومجموعهما $5$ .

$2, 3$

خطوة 4.1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{4 x + 11}{(x + 2) (x + 3)}$

خطوة 4.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

خطوة 4.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

خطوة 4.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{(4 x + 11) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(4 x + 11) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(4 x + 11) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(4 x + 11) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.6.2

اقسِم $4 x + 11$ على $1$ .

$4 x + 11 = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x + 11 = \frac{A (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 3)$ على $1$ .

$4 x + 11 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x + 11 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.7.3

انقُل $3$ إلى يسار $A$ .

$4 x + 11 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x + 11 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.1.7.4.2

اقسِم $(B) (x + 2)$ على $1$ .

$4 x + 11 = A x + 3 A + (B) (x + 2)$

خطوة 4.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x + 11 = A x + 3 A + B x + B \cdot 2$

خطوة 4.1.7.6

انقُل $2$ إلى يسار $B$ .

$4 x + 11 = A x + 3 A + B x + 2 B$

خطوة 4.1.8

انقُل $3 A$ .

$4 x + 11 = A x + B x + 3 A + 2 B$

خطوة 4.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$4 = A + B$

خطوة 4.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$11 = 3 A + 2 B$

خطوة 4.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$4 = A + B$

$11 = 3 A + 2 B$

$4 = A + B$

$11 = 3 A + 2 B$

خطوة 4.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $4 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 4$ .

$A + B = 4$

$11 = 3 A + 2 B$

خطوة 4.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 4 - B$

$11 = 3 A + 2 B$

$A = 4 - B$

$11 = 3 A + 2 B$

خطوة 4.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $4 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $11 = 3 A + 2 B$ بـ $4 - B$ .

$11 = 3 (4 - B) + 2 B$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط $3 (4 - B) + 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$11 = 3 \cdot 4 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.2.2.1.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$11 = 12 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$11 = 12 - 3 B + 2 B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - 3 B + 2 B$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.2.2.1.2

أضف $- 3 B$ و $2 B$ .

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $11 = 12 - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $12 - B = 11$ .

$12 - B = 11$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$- B = 11 - 12$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.3.2.2

اطرح $12$ من $11$ .

$- B = - 1$

$A = 4 - B$

$- B = - 1$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.3.3

اقسِم كل حد في $- B = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

اقسِم كل حد في $- B = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.3.3.2.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

خطوة 4.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 4 - B$ بـ $1$ .

$A = 4 - (1)$

$B = 1$

خطوة 4.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

بسّط $4 - (1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A = 4 - 1$

$B = 1$

خطوة 4.3.4.2.1.2

اطرح $1$ من $4$ .

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

خطوة 4.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 3, B = 1$

خطوة 4.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$

خطوة 4.5

احذِف الصفر من العبارة.

$\int \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{3}{x + 2} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{1} = x + 2$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{1} = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 7.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = x + 3$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 9.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 9.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 11

بسّط.

$3 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 2$ .

$3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 3$ .

$3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x + 3 |) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x + 3 |) + C$